MATERI TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRI

A.  Sejarah Trigonometri 



Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India. Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.
 

 B. Pengertian

Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku. Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku, maka definisinya adalah sebagai berikut : 
 

C. Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa

D. Rumus-rumus Identitas Trigonometri

 

 

  

E. Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa

 

F. Rumus-rumus Identitas Trigonometri

 

G. Rumus- Rumus Trigonometri

 

H. Aturan Trigonometri dalam Segitiga

  

I. Penjumlahan dua sudut  (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
                =1 - tg2a

J. Selisih dua sudut (a - b)
 
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b

cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
               =1 + tg2a                                                       

k. Sudut Rangkap

1. sin 2a   = 2 sin a cos a
2. cos 2a  = cos2a - sin2 a
           = 2 cos2a - 1
           = 1 - 2 sin2a
3. tg 2a   = 2 tg 2a
          = 1 - tg2a
4. sin a cos a = ½ sin 2a
5. cos2a = ½(1 + cos 2a)
6. sin2a = ½ (1 - cos 2a)

  Secara umum :

sin a   = 2 sin ½ a .cos ½na
cos a  = cos2 ½ a - 1
           = 2 cos2 ½ a - 1
           = 1 - 2 sin2 ½ a
tg a = 2 tg ½ a
        =1 - tg2 ½ a

L. Jumlah Selisi Dua Fungsi yang Sama 

1. BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN 

sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b

2. BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
 

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

M. Jumlah Fungsi yang Berbeda

Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a). 

 CONTOH SOAL :

1. Diketahui segitiga  ABC dengan panjang sisi-sisinya a = 9, b = 7, dan c = 8. Nilai cos C = …

Pembahasan :

c² = a² + b² – 2ab Cos C

64 = 81 + 49 – 2(9)(7) . cos C

64 = 130 – 126 . cos C

64 – 130 = – 126 . cos C

-66 = -126 cos C

Cos C         = 66/126

 Cos C         = 33/63

Jadi nilai cos C = 33/63

2. Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:

a) sin 75°

b) cos 75

c) tan 105°

Pembahasan :

a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin 75° = sin (45° + 30°)

            = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°

            = 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2

            = 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus

cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B

cos 75° = cos (45° + 30°)

             = cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°

             = 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2

             = 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan

tan 105° = tan (60° + 45°)

3. Jika A+B+C = 180° maka sin ½ (B+C)=….

Penyelesaian:

A+B+C = 180°

B+C = 180°-A

sin ½ (B+C) =sin ½ (180°-A)

                     = sin (90°- 1/2 A)

sin ½ (B+C) = cos ½ A